iPhoneアプリ: stattDistr

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概要

小さな標本で母集団の平均を推定・検定するにはt分布を使います。

「データ入力」は標本データひとつひとつを手入力します
「数値入力」は標本の「データ数」「平均」および[「分散」「標準偏差」「推定標準誤差」のいずれか]を入力します

■ 推定または検定

検定する場合は母平均を入力して、「t分布による母平均の検定」ボタンを押します
入力された標本を推定する場合は「t分布による区間推定」ボタンを押します

■ 出力

「連携(保存)」ボタンを押し、出力先を選んで出力します

■ 標本分散と不偏分散

標本分散を使って推定・検定している文献と不偏分散を使って推定・検定している文献があります。
自分の学んだ方法、あるいは、研究室・研究所・会社の指定した方法に合う分散をお使いください。

■ t分布は[Johnson et al. 1995]により近似計算しています

誤差があることを了承の上ご使用ください。
アプリ「解説」ページに当アプリと参考文献の例との対照を載せています。

プロモーション

小さな標本で母集団の平均を推定・検定するにはt分布を使います。
■ データを直接入力、(データ数、平均、[分散、標準偏差、推定標準誤差])を入れる数値入力
■ 点推定・区間推定、(母平均を入れて[下側検定、両側検定、上側検定])]
■ 標本分散、不偏分散を計算
■ 結果をアプリ連携(データ保全)

キーワード

統計, 推定, 検定, 下側検定, 両側検定, 上側検定, 母集団, 標本, 小標本, スモール・サンプル・サイズ, t分布, 平均, 母平均, 母集団平均, 標準偏差, 近似

例

データ入力・検定

医療機器メーカ品質管理の方に伺った例です。

ある製品のキャップの内径は25mmと定められている。今、あるロットから20個のサンプルを取ったところ、次のような数値だった。

このロットは基準値であると言えるだろうか？

アプリ起動

まずアプリを起動します。

そして左上のデータ入力ボタンを押します。

データ入力から標本と母集団

データ入力し、標本と母集団ボタンを押すとこの画面に遷移します。

基準値は25mmですから、母平均に25と入力して入力ボタンを押します。

t分布による母平均の検定ボタンを押して次の画面に遷移します。

検定統計量t

ここでは、t分布累積分布関数のそれぞれの値と検定統計量t、不偏分散による検定統計量tが表示されます。両側検定ボタンを押して次の画面に遷移します。

両側検定

標本分散による検定でも不偏分散による検定でも棄却出来ないという結果になりました。つまり、取ったサンプルから該当ロットは基準から外れているとは言えないということがわかりました。

連携(保存)ボタンを押して次の画面に遷移します。

連携(保存)

ここではメールを選んで結果を送りました。

結果

入力データと解析結果が得られました。

データ入力・(点推定、および、)区間推定

小鉢が10個あります。その重さを推定してみましょう。

アプリを起動して「データ入力」ボタンを押します。

秤に小鉢を乗せ、重さの数値を読み、「入力」ボタンの左の空欄にデータを1つ入れ「入力」ボタンを押します。

入力されると「データ数: 1」が表示されます。

同様に2つめから10個目まで小鉢の重さを測り、データを入れ「入力」ボタンを押します。

上図は10個のデータを入れ終わった画面です。

ここで「標本と母集団」ボタンを押します。

ここでは母平均の(点推定、および、)区間推定をしたいので「t分布による区間推定」ボタンを押します。

すると母集団の点推定が出力され、その下方に信頼水準毎(0.90、0.95、0.99)の母集団の区間推定が出力されます。

それぞれの信頼水準ではt値と標本分散による区間推定と不偏分散による区間推定が出力されます。

「連携(保存}」ボタンを押すと次の図のような画面に遷移します。

メールで送ることにするので、「Mail」をクリックするとiPhoneメーラーが起動します。

ここでは、iPhoneからPCへ送付します(図で発信、受信メールアドレスは消してあります)。

6:36送信、6:36受信しました！

次の結果が送られました。

データ入力・上側検定

例2

ある組織の単体テストのエラー率は5[件/1000行]だったとします。今、あるプロジェクトを協力会社A社に委託して20本のプログラムをテストしたところ、下記のようなエラー率だったとします。

A社のプログラムは基準値(5[件/1000行])以内でしょうか？

方針

このようにXXX以内かどうかを検定したい場合には上側検定を使います。

アプリを起動して「データ入力」ボタンを押します。

「入力」ボタンの左の空欄にデータを1つ入れ「入力」ボタンを押します。

入力されると「データ数: 1」が表示されます。

同様に2つめから20個目までのデータを入れ「入力」ボタンを押します。

上図は20個のデータを入れ終わった画面です。

ここで「標本と母集団」ボタンを押します。

ここでは母平均が5[件/1000行]以内かどうかを検定したいので、「入力」ボタンの左に5を入れ「入力」ボタンを押します。すると小数点以下4桁まで変換して再表示されます。

ここで「t分布による母平均の検定」ボタンを押します。

この例の場合、上側検定したいので「上側検定」ボタンを押します。

するとそれぞれの信頼水準で「棄却」「棄却出来ない」の検定結果が表示されます。

この場合すべてが「棄却」となりました。

つまり「エラー率は5[件/1000行]以下とは言えないということになりました。

「連携(保存}」ボタンを押すと相応の連携方法が示されます。

例えばメールで送ると次の結果が送られます。

解説

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ボタンの色の意味
水色: 画面遷移する
緑色: どれかひとつの数値を入力する
黄色: 数値を入力する

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標本データの入力

「データ入力」は標本データひとつひとつを手入力する
「数値入力」は標本の「データ数」「平均」および[「分散」「標準偏差」「推定標準誤差」のいずれか]を入力する

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推定または検定

検定する場合は母平均を入力して、「t分布による母平均の検定」ボタンを押す
入力された標本を推定する場合は「t分布による区間推定」ボタンを押す

--------------------------------------------------
出力

「連携(保存)」ボタンを押し、出力先を選んで出力する

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標本分散と不偏分散

下記検証結果でも示した通り、標本分散を使って推定・検定している文献と不偏分散を使って推定・検定している文献があります。
ご自分の学んだ方法、あるいは、研究室・研究所・会社の指定した方法に合う分散をお使いください。

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t分布は近似計算しています([Johnson et al. 1995]による)

下記検証結果でも示した通り、参考文献の例題と当アプリの結果は微妙に異なっています。
誤差があることを了承の上ご使用ください。

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検証結果

各参考文献中の例題の結果(ref)と当アプリの結果(app)の対照
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[Akiyama 2009]
例題 6(p. 149).
数値入力(標準偏差) -> 区間推定(信頼水準 0.95 標本)
t値: 2.132(ref) <-> 2.1478(app)
下限: 17.5931(ref) <-> 17.5790(app)(標本)
上限: 21.4069(ref) <-> 21.4210(app)(標本)
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[Akiyama 2009]
例題 7(p. 150).
数値入力(標準偏差) -> 区間推定(信頼水準 0.90 標本)
t値: 2.093(ref) <-> 2.0944(app)
下限: 406.3982(ref) <-> 406.3359(app)(標本)
上限: 593.6018(ref) <-> 593.6641(app)(標本)
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[Chi Yau 2013]
11.4 Lower Tail.
数値入力(標準偏差)、母平均 -> 母平均検定(信頼水準 0.95 標本)
t値: -4.3818(ref) <-> -4.3818(app)
t分布累積分布関数(0.95): 1.6991(ref) <-> 1.6997(app)(標本)
検定結果: 棄却(一致)
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[Chi Yau 2013]
11.5 Upper Tail.
数値入力(標準偏差)、母平均 -> 母平均検定(信頼水準 0.95 標本)
t値: -1.9720(ref) <-> -1.9720(app)
t分布累積分布関数(0.95): 1.6909(ref) <-> 1.6914(app)(標本)
検定結果: 棄却(一致)
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[Chi Yau 2013]
11.6 Two-Tailed.
数値入力(標準偏差)、母平均 -> 母平均検定(信頼水準 0.95 標本)
t値: -4.3818(ref) <-> -1.8931(app)
t分布累積分布関数(0.975・・・両側検定なので): 2.0322(ref) <-> 2.0327(app)(標本)
検定結果: 棄却出来ない(一致)
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[Hays 1994]
Chap 8. Inferences about Population Mean.
8.6 Significance Tests and Confidence Limits for Means Using the t Distribution(p. 320).
数値入力(推定標準誤差) -> 区間推定(信頼水準 0.95 標本)
t値: 2.365(ref) <-> 2.3694(app)
下限: 40.25(ref) <-> 40.2333(app)(標本)
上限: 57.75(ref) <-> 57.7667(app)(標本)
-----
[Howell 2009]
7.3 Testing a Sample Mean When σ is Unknown - The One-Sample t Test(p. 185).
数値入力(標準偏差)、母平均 -> 母平均検定(信頼水準 0.95 不偏)
t値: 2.45(ref) <-> 2.4529(app)
t分布累積分布関数(0.975・・・両側検定なので): 2.009(ref) <-> 2.0042(app)(不偏)
検定結果: 棄却(一致)
-----
[Kachigan 1986]
Chap 8. Parameter Estimation.
5. Student's t Distribution.
Interval estimates using t(p. 146).
数値入力(標準偏差) -> 区間推定(信頼水準 0.95 標本)
t値: 2.31(ref) <-> 2.3105(app)
下限: 40.25(ref) <-> 20.9193(app)(標本)
上限: 27.1(ref) <-> 27.0807(app)(標本)
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[Kachigan 1986]
Chap 9. Hypothesis Testing.
3. Test of a Mean.
Small sample technique(p. 167).
数値入力(標準偏差)、母平均 -> 母平均検定(信頼水準 0.95 標本)
t値: 1.11(ref) <-> 1.0588(app)
t分布累積分布関数(0.975・・・両側検定なので): 2.26(ref) <-> 2.2662(app)(標本)
検定結果: 棄却出来ない(一致)
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[Kanoh & Asako 1998]
例題 4-3(p. 79).
データ入力 -> 区間推定(信頼水準 0.90 不偏)
t値: 1.94(ref) <-> 1.9530(app)
下限: 370.1(ref) <-> 371.4930(app)(不偏)
上限: 409.9(ref) <-> 409.9898(app)(不偏)
-----
[Kanoh & Asako 1998]
例題 4-3(p. 79).
データ入力 -> 区間推定(信頼水準 0.95 不偏)
t値: 2.45(ref) <-> 2.4513(app)
下限: 364.9(ref) <-> 364.9099(app)(不偏)
上限: 415.1(ref) <-> 413.2289(app)(不偏)
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[Kanoh & Asako 1998]
例題 4-3(p. 79).
データ入力 -> 区間推定(信頼水準 0.99 不偏)
t値: 3.71(ref) <-> 3.6638(app)
下限: 352.0(ref) <-> 352.2819(app)(不偏)
上限: 428.0(ref) <-> 427.4999(app)(不偏)
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[Kojima 2006]
21-2. t分布による区間推定の方法(p. 192).
データ入力 -> 区間推定(信頼水準 0.95 不偏)
t値: 2.571(ref) <-> 2.5726(app)
下限: 75.964(ref) <-> 75.9595(app)(不偏)
上限: 84.036(ref) <-> 84.6884(app)(不偏)
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[Matsubara 2009]
10.3 スチューデントのt検定 - 有意性の判断(p. 97)
データ入力、母平均 -> 母平均検定(信頼水準 0.95 不偏)
t値: -0.831(ref) <-> -0.8307(app)
t分布累積分布関数(0.975・・・両側検定なので): 2.013(ref) <-> 2.0132(app)(不偏)
検定結果: 棄却出来ない(一致)
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[Matsubara 2009]
10.3 スチューデントのt検定 - 有意性の判断(p. 97)
データ入力 -> 区間推定(信頼水準 0.95 不偏)
t値: 2.013(ref) <-> 2.0132(app)
下限: 5.141(ref) <-> 5.1405(app)(不偏)
上限: 6.357(ref) <-> 6.3574(app)(不偏)
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[Muro & Ishimura 2004]
10章パラメータの推定(p. 152)
データ入力 -> 区間推定(信頼水準 0.95 不偏)
t値: 2.3646226(ref) <-> 2.3694(app)
下限: 869.67182(ref) <-> 869.4474(app)(不偏)
上限: 1092.8282(ref) <-> 1093.0526(app)(不偏)
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[Nagata 1992]
母平均μに関する検定(σ^2未知)の手順(p. 81)
データ入力、母平均 -> 母平均検定(信頼水準 0.95 不偏)
t値: 2.41(ref) <-> 2.4054(app)
t分布累積分布関数(0.975・・・両側検定なので): 2.262(ref) <-> 2.2662(app)(不偏)
検定結果: 棄却(一致)
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[Nagata 1992]
母平均μの推定(σ^2未知)の手順(p.83)
データ入力 -> 区間推定(信頼水準 0.95 不偏)
t値: 2.262(ref) <-> 2.2662(app)
下限: 20.02(ref) <-> 20.0174(app)(不偏)
上限: 20.58(ref) <-> 20.5826(app)(不偏)
-----
[Samuels 1991]
6.2 Confidence Interval for μ.
Student's t Distribution.
Example 6.3(p. 158).
数値入力(標準偏差) -> 区間推定(信頼水準 0.95 標本)
t値: 2.179(ref) <-> 2.1816(app)
下限: 20.6(ref) <-> 20.6009(app)(標本)
上限: 22.1(ref) <-> 22.0761(app)(標本)
-----
[Samuels 1991]
6.2 Confidence Interval for μ.
Student's t Distribution.
Example 6.4(p. 159).
数値入力(標準偏差) -> 区間推定(信頼水準 0.90 標本)
t値: 1.782(ref) <-> 1.7854(app)
下限: 20.7(ref) <-> 21.9421(app)(標本)
上限: 22.9(ref) <-> 21.9668(app)(標本)
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[University of Tokyo, ed. 1991]
11.5.1. 正規母集団の母平均、母分散の区間推定.
母平均の信頼区間.
例(p. 226).
数値入力(標準偏差) -> 区間推定(信頼水準 0.90 不偏)
t値: 1.645(ref) <-> 1.6604(app)
下限: 2.338(ref) <-> 2.3382(app)(不偏)
上限: 2.354(ref) <-> 2.3538(app)(不偏)
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[Wakui & Wakui 2003]
4-4 小さなサンプルのときの母平均の推定(p. 120)
データ入力 -> 区間推定(信頼水準 0.95 不偏)
下限: 111.0916(ref) <-> 111.0881(app)(不偏)
上限: 121.6084(ref) <-> 121.6119(app)(不偏)
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[Wakui & Wakui 2003]
4-4 小さなサンプルのときの母平均の推定(p. 120)
データ入力 -> 区間推定(信頼水準 0.99 不偏)
下限: 109.1623(ref) <-> 109.1612(app)(不偏)
上限: 125.5377(ref) <-> 123.5388(app)(不偏)
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[Yamada et al 2008]
5.4 t分布を用いた検定(1つの平均値の検定・母分散σ^2が未知)(p. 119)
データ入力、母平均 -> 母平均検定(信頼水準 0.95 不偏)
t値: -2.616648(ref) <-> -2.6166(app)
t分布累積分布関数(0.975・・・両側検定なので): 2.093024(ref) <-> 2.0944(app)(不偏)
検定結果: 棄却(一致)
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[Yoshida 2006]
6. t-分布を用いた区間推定(p. 228).
数値入力(標準偏差) -> 区間推定(信頼水準 0.95 標本)
t値: 2.131(ref) <-> 2.1335(app)
下限: 23.197(ref) <-> 23.1931(app)(標本)
上限: 29.803(ref) <-> 29.8069(app)(標本)
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参考文献

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t分布の近似計算は[Johnson et al. 1995]による。

他の文献は、文献中の例題の結果(ref)と当アプリの結果(app)の対照として参照した。

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[Akiyama 2009]

秋山裕 2009.
統計学基礎講義.
慶應義塾大学出版会 (2009/4/1)
ISBN-10: 4766416147.
ISBN-13: 978-4766416145.

-----
[Chi Yau 2013]

Chi Yau 2013.
R Tutorial with Bayesian Statistics Using OpenBUGS.
Amazon Digital Services LLC.

-----
[Hays 1994]

William Hays 1994.
Statistics.
Cengage Learning.
ISBN-10: 0030744679.
ISBN-13: 978-0030744679.

-----
[Howell 2009]

David C. Howell 2009.
Statistical Methods for Psychology.
Wadsworth Publishing.
ISBN-10: 0495597848.
ISBN-13: 978-0495597841.

-----
[Johnson et al. 1995]

Norman L. Johnson, Samuel Kotz & N. Balakrishnan 1995.
Continuous Univariate Distributions, Vol. 2, 2nd Ed.
Wiley-Interscience.
ISBN-10: 0471584940.
ISBN-13: 978-0471584940.

-----
[Kachigan 1986]

Sam Kash Kachigan 1986.
Statistical Analysis: An Interdisciplinary Introduction to Univariate & Multivariate Methods.
Radius Pr.
ISBN-10: 0942154991.
ISBN-13: 978-0942154993.

-----
[Kanoh & Asako 1998]

加納悟 & 浅子和美 1998.
入門経済のための統計学.
日本評論社.
ISBN-10: 4535551146.
ISBN-13: 978-4535551145.

-----
[Kojima 2006]

小島寛之 2006.
完全独習統計学入門.
ダイヤモンド社.
ISBN-10: 4478820090.
ISBN-13: 978-4478820094.

-----
[Matsubara 2009]

松原望 2009.
わかりやすい統計学第2版.
丸善.
ISBN-10: 4621080644.
ISBN-13: 978-4621080641.

-----
[Muro & Ishimura 2004]

室 & 石村 2004.
Excelでやさしく学ぶ統計解析[第2版].
東京図書.
ISBN-10: 4489006780.
ISBN-13: 978-4489006784.

-----
[Nagata 1992]

永田靖 1992.
入門統計解析法.
日科技連出版社.
ISBN-10: 4817102667.
ISBN-13: 978-4817102669.

-----
[Samuels 1991]

Myra L. Samuels 1991.
Statistics for the Life Sciences.
Macmillan Pub Co.
ISBN 0-02-946406-4.

-----
[University of Tokyo, ed. 1991]

東京大学教養学部統計学教室、編 1991.
統計学入門 (基礎統計学Ⅰ).
東京大学出版会.
ISBN-10: 9784130420655
ISBN-13: 978-4130420655.

-----
[Wakui & Wakui 2003]

涌井 & 涌井 2003.
Excelで学ぶ統計解析.
ナツメ社.
ISBN-10: 4816334181.
ISBN-13: 978-4816334184.

-----
[Yamada et al 2008]

山田、杉澤 & 村井 2008.
Rによるやさしい統計学.
オーム社.
ISBN-10: 4274067106.
ISBN-13: 978-4274067105.

-----
[Yoshida 2006]

吉田耕作 2006.
直感的統計学.
日経BP社.
ISBN-10: 4822245101.
ISBN-13: 978-4822245108.

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